Presencia de Armonicos.


 

Preámbulo.

En un sistema eléctrico ideal las tensiones suministradas a las cargas eléctricas y las intensidades de corriente de las mismas son ondas senoidales perfectas.

 

 

Cuando la onda de tensión o de intensidad, medida en cualquier punto del sistema eléctrico se encuentra distorsionada  en relación a una onda senoidal teórica, se pude afirmar que es una onda distorsionada con componentes armónicas.

Actualmente la implementación de la electrónica de potencia (variadores de velocidad, rectificadores, etc) empleados en los procesos de fabricación, conllevan un niveles más significativos de distorsión.

Dicha onda distorsionada, cumple tres criterios:

  • Es permanente, es decir no es un efecto pasajero.
  • Los valores están dentro del rango de la fundamental, lo que implica que la energía contenida es finita.
  • La señal es periódica, teniendo la misma forma (valores) en cada ciclo de la onda.

 

Procedencia de los Armónicos (Receptores lineales y no lineales).

Los armónicos presentes en un sistema eléctrico pueden ser importados, a través del suministro eléctrico, o exportados generados en los receptores.

Las cargas eléctricas, que presentan una característica tensión-intensidad lineal, provocan corrientes senoidales; si bien la corriente puede tener un valor de desfase con respecto a la intensidad. Ejemplos de cargas lineales son: Resistencias calefactoras, alumbrado de incandescencia.

 

 

Las cargas eléctricas, que presentan una característica tensión-intensidad  no lineal, provocan corrientes no senoidales; si bien la corriente puede tener un valor de desfase con respecto a la intensidad. Ejemplos de cargas no lineales son: Electrónica de potencia (SAIS, Rectificadores, Variadores de velocidad), Aparatos ferromagnéticos, Aparatos de Arco.

 

 

Análisis de Fourier.

 

La distorsión de la onda se puede analizar por medio del análisis de Fourier, que define que una función periódica cualquiera, puede considerarse integrada por una suma de funciones senoidales de diferentes amplitudes, frecuencias y fases.

Siendo la primera armónica la señal fundamental y el resto de ellas múltiplos de la fundamental.

El desarrollo de Fourier de es:

Donde: 

  •   es el rango u orden del armónico, es decir la relación de la frecuencia fundamental y la frecuencia, en nuestro caso f = 50Hz.
  • Yo = amplitud de la componente continua.
  •  Yn = valor eficaz de la componente de rango "n"
  •  Φn= valor de desfase de la componente armónica en el momento inicial (t0).

 

El valor eficaz en corriente alterna (RMS) es el valor cuadrático medio de una onda, siendo este valor, equivalente a una corriente continua que produzca un calentamiento idéntico en una resistencia imaginaria.

En cualquier señal periódica el valor RMS se define como:  

En el caso particular a frecuencia fundamental es:   

Para las frecuencias armónicas es: 

 

 

 

Cada armónico tiene un orden / rango, una frecuencia y una secuencia determinada. El orden es el múltiplo de la frecuencia fundamental, la frecuencia es la frecuencia del armónico, múltiplo de la fundamental y la secuencia: positiva / directa, negativa / inversa o cero / homopolar;  es la rotación del vector con respecto a la frecuencia fundamental.

 Una secuencia positiva significa que el campo magnético generado rotará en la misma dirección que el de la fundamental, una secuencia negativa en dirección contraria y una secuencia homopolar generará un campo que fluctúa pero no gira.

Las armónicas de secuencia cero u homopolar son perceptibles en los sistemas trifásicos con neutro, muchas veces originadas por receptores monofásicos del tipo no lineal, en los sistemas simétricos desaparecen.

 

= Las armónicas pares desaparecen cuando las ondas son simétricas, (100Hz, 200Hz, 300Hz, 400Hz.. ).

 

Usualmente los armónicos más típicos, son los del orden 3(150Hz),  5(250Hz), 7(350Hz), 11(550Hz)  y de estos los que suelen causar más fenómenos evidentes, son el 5º y el 7º.

 

Valor eficaz de una magnitud deformada

 

Como ya hemos indicado anteriormente, el valor eficaz de una señal sinusoidal es el valor medio divido por la raíz de 2.

 

Para una señal distorsionada en régimen permanente, la energía disipada por el efecto Joule (Q = R * I2), es la suma de todas las componentes armónicas.

    de donde podemos resolver

simplificando , siempre que se considere el valor de la resistencia constante.

Para señales muy distorsionadas, el valor medio puede ser idéntico que el de una señal sinusoidal, si bien el valor de cresta de ambas puede ser muy superior en la distorsionada.

El valor medio para medio periodo es:      cuando es una onda senoidal, el valor medio en el periodo entero es 0.

El coeficiente que relaciona el valor en medio periodo y el valor eficaz es:    , este coeficiente es diferente para cada tipo de señal, en señales sinusoidales vale 1,11 y para otro tipos de señales puede ser 2  o superior.

El factor de cresta es la relación del valor de pico y el valor eficaz, por lo que es un factor de deformación de la señal :    para una señal senoidales 1,414 = (√2), para otro tipo de señales puede llegar a ser 4 veces.

 

Cuando realizamos mediciones, para una misma señal eficaz podemos tener grandes diferencias en los valores de pico dependiendo lo deformada que se encuentre la señal, por lo que se ha de considerar siempre el efecto de las armonicas en las mediciones que se efectuen

 

La mayoría de los instrumentos utilizados en las mediciones no permiten medir el factor de pico y ni el factor de cresta y están ideados para ondas sinusoidales perfectas.

 

Los equipos estandar suelen tener un error de lectura en señales cuadradas de 10% por encima del valor real, y en señales distorsionadas hasta un 40% por debajo del valor real.

 

Para obtener el valor de una magnitud deformada se puede emplear equipos de verdadero valor eficaz o térmicos, o bien analizadores de espectro.

 

Generalmente los analizadores de redes permiten ver el espectro armónico de una señal, donde cada barra representa un armónico, y un valor eficaz. Usualmente estos equipos nos indican los valores desde el 2º armónico hasta 30º armónico.

 

 

Podemos comparar el armónico o bien la suma de todos ellos con el valor eficaz de la onda fundamental, que en nuestro caso es 50Hz.

Si deseamos obtener el valor de cada armónico con relación a la onda fundamental, calcularemos la tasa individual de distorsión:  esta tasa es la relación entre el valor eficaz de la amplitud del armónico de rango “n” y el de la fundamental.

Si deseamos conocer el valor de la totalidad de los armónicos, con respecto al valor eficaz de la fundamental, emplearemos la tasa de distorsión total:

De esta relación podemos deducir que si no existen armónicos, THD es igual a 0.

EL THDi es el generado por la carga y el THDv se genera por la fuente como resultado de una corriente muy distorsionada, por lo que se deduce que a mayor número de cargas con THDi  mayores posibilidades de tener una distorsión armónica de la tensión THDv.

 

 

Estas dos tasas, son muy apropiadas para realizar cálculos de armónicos, y las volveremos a retomar posteriormente en los diferentes ejemplos.

 

Valores armónicos en las redes de distribución.

 

Ya hemos comentado que los armónicos, pueden ser generados en las cargas y exportados a la red de distribución, o bien pueden ser importados desde la redes de distribución.

Para determinar el direccionamiento de las armónicas, usualmente se emplea el método de ángulo de fase para la onda de tensión y corriente de una armónica, si están a +90º o -90º, se asignan a la fuente de alimentación, en cambio, si están fuera de lo indicado se originan en la carga.

 

Cuando se realizan mediciones de armónicos, es recomendable si existe la posibilidad,  realizar una medición sin los receptores conectados, esta medición nos determinará el nivel de distorsión importado; más evidente en receptores que comparten estaciones transformadoras comunes.

La norma EN 50 160 establece los valores de los armónicos de tensión máximos admisibles en el suministro eléctrico; dichos valores están referidos al periodo de una semana, donde el 95% de ellos tomados en medias de 10 minutos, no podrán sobrepasar los valores de la misma.

 

Valores de los armónicos en las instalaciones.

Usualmente se emplean los siguientes umbrales para determinar la contaminación armónica:

 

THDi  (Armónicos de Intensidad):

  • THDi por debajo del 10% situación normal.
  • THDi del 10% al 50% contaminación armónica de consideración, aumenta las perdidas en los conductores y fuentes de tensión (Transformadores, Generadores..)
  • THDi mayor del 50% contaminación severa, posibilidad de mal funcionamiento de la instalación, necesidad de atenuación de los mismos.

 

THDv (Armónicos de Tensión):

 

  • THDi por debajo del 5% situación normal.
  • THDi del 5% al 8% contaminación armónica de consideración, aumenta las perdidas en los conductores y fuentes de tensión (Transformadores, Generadores..)
  • THDi mayor del 50% contaminación severa, posibilidad de mal funcionamiento de la instalación, necesidad de atenuación de los mismos.

 

El umbral permisible de armónicos es muy dependiente del tipo de receptores que se alimentan, algunos son muy insensibles a los mismos, y otros son muy sensibles a ellos, por lo que se ha de considerar estos y el nivel de los mismos, dependiendo de cada instalación.

 

Las corrientes armónicas tienden a fluir desde los consumidores no lineales (productores de armónicos) hacia la impedancia más baja, generalmente la compañía suministradora. El nivel de contaminación en una instalación es más evidente a medida que nos aproximamos al punto de alimentación, y más atenuado a medida que nos alejamos de él y los productores de armónicos, en el supuesto de que se exportan los mismos.

 

Un sistema balístico para determinar si hay una considerable contaminación armónica es el empleo de dos pinzas amperimétricas, una estándar (Valor medio) y otra tipo TRMS (verdadero valor eficaz).

 

El valor de lectura del equipo estándar RMS(Valor medio), utiliza la relación entre el valor eficaz y el valor medio en ½ periodo, dicha relación es 1,11 para ondas sinusoidales, es decir el valor de la corriente rectificada.

En señales deformadas el error puede ser hasta el  40% inferior del valor real.

 

Si existe un nivel bajo de armónicas los valores de las intensidades medidas, con una y otra pinza discreparan en un rango aceptable. En caso contrario con los valores de Intensidad Valor Medio, e Intensidad Valor TRMS creamos un índice, dividiendo el Valor Medio entre el Valor TRMS.

Un resultado 1 o próximo a él, significara una nula o pequeña distorsión armónica,  un valor inferior connota una sustancial presencia de armónicos.

En el caso de ser una red trifásica, se realizaran las medias aritméticas de las intensidades tanto de valor Medio como de valor TRMS de cada fase, y se resolverá de la siguiente forma:

 

Fases Valor Medio = (Valor medio “R”  + Valor medio “S” + Valor medio “T”)  /  3.

Fases TRMS = (Valor TRMS “R” + Valor TRMS “S” + Valor medio “T” ) / 3.

Índice =  (Fases Valor Medio * 1,414) / Fases TRMS.

 

El resultado del índice como anteriormente adopta un valor de 0 a 1, siendo un resultado próximo 1, una nula o baja distorsión armónica y un valor inferior la presencia de armónicas.

Se puede realizar un tanteo de la existencia de armónicas, a través de un voltímetro TRMS con indicación de cresta, (recordemos que en una onda senoidal pura, el factor de cresta es de 1,414), para un valor de lectura muy diferente de 1,414 es factible que existan componentes armónicos en la señal. En redes trifásicas se ha de tener especial atención a esta medición, pues usualmente, las ondas trifásicas deformadas, presenta una doble cresta, por lo que el sistema no es apropiado para determinar la existencia de armónicos.

Si la medición se realiza en el conductor neutro(armónicos triplens (3º, 9º, 15º, 21º..)), los valores arrojados estarán muy próximos, ya que los armónicos que recorren el neutro están en fase con la fundamental, y prácticamente presentan una forma senoidal. Para tener una indicación de la existencia de armónicos en el neutro, se puede realizar una medida de frecuencia entre el neutro y tierra, si la lectura es muy diferente de 50Hz, posiblemente existan armónicas de 3º (150Hz).

 

Para determinar el valor de las armónicas será necesaria la medición a través de un analizador de redes y los sistemas descritos solo son indicadores a grosso modo de la existencia de los armónicos.

 

Fenomeno de Resonancia en instalaciones con armónicos.

 

El fenómeno de la resonancia es el factor más importante cuando existen armónicos en la instalación y depende de los valores de las reactancias capacitivas e inductivas del mismo, y estas a su vez de la frecuencia del armónico.

 

La reactancia inductiva es:        (ejemplo: transformadores, motores, bobinas).

La reactancia capacitiva es:     (ejemplo: Condensadores, baterías de reactiva).

La Impedancia es entonces:

La frecuencia de resonancia es:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Como se observará el valor de la Impedancia, está relacionado directamente con la frecuencia, ya que la reactancia inductiva y la reactancia capacitiva son directamente proporcionales a la frecuencia, y por lo tanto el valor de la Impedancia variará con los armónicos existentes.

En una reactancia inductiva cualquiera, una baja frecuencia la aproxima a cero y una alta frecuencia la aproxima a infinito.

En una reactancia capacitiva cualquiera, una baja frecuencia la aproxima a infinito y una alta frecuencia la aproxima a cero.

 

Para cada sistema de capacidad e inductancia existe una frecuencia de resonancia, a esa frecuencia, se igualan los valores de XL y de XC, la intensidad que recorre ambas es la máxima y solo está limitada por la componente de resistencia óhmica de la inductancia y la capacidad.

Por lo tanto en L y  C se acumula energía según la razón siguiente: PL = iL2 * XL  ; PC = uC2 / XC la cantidad máxima está limitada por la componente resistiva.

A su vez la tensión del sistema es superior a la nominal del mismo, ya que la  energía acumulada en la inductancia se descarga sobre la capacidad, y la capacidad se descarga sobre la inductancia, oscilando ambas; adsorbiendo solamente la energía disipada en la resistencias óhmicas.

 

 

Veamos el siguiente ejemplo de una instalación imaginaria en donde tenemos los siguientes elementos:

 

Transformador: 160 Kva,10Kv / 400v, Delta / Estrella, ɛcc = 4 % , ɛRcc = 1,67 %.

Conductores: 4 *150 + 90mm2. L=400m, XL = 0,1Ω/Km, μΩcm =1,72 * 10-8.

Fuente rectificada: Trifásica 20Kw, 400/125v, ca/cc, 160.A, cos φN = 0,90. 3Fases 6Pulsos.

Carga 1:

4 motores asíncronos 11Kw, 2P 3000 rpm, 2.920 rpmNominal, VN= 400V,  IN = 21.A, cos φN = 0,85.

2 motor asíncrono de  3Kw, 4P 1500 rpm, 1.425 rpmNominal , VN= 400V, I= 6,2.A, cos φN = 0,85.

Carga 2:

2 motores asíncronos de 11Kw, 4P 1500 rev,  1.460 rpmNominal, VN= 400V, IN = 22.A, cos φN = 0,82.

2 motores asíncronos de 11Kw, 2P 3000 rev, , 2.920 rpmNominal ,VN= 400V,  IN = 21.A, cos φN = 0,85.

Grupo de Reactiva: 37,5 Kvar, 400V, tgδ 5*10-4 ;  2,5 + 5 + 10 + 20 Kvar.

 

El ejemplo se puede simplificar a sus componentes R, XL y XC según se desarrolla a continuación:

 

Transformador (Visto desde el lado de baja tensión)

Cosϕ = ɛRcc / ɛcc = 1,67 / 4 = 0,4175     arcos(0,4175) = 65,32º.

INominal = P / (√3 * VNominal) = 160 / ( 1,7320 * 400) = 0,230 kA

 

VccL = (ɛcc *  VNominal) / 100 = ( 4 * 400) / 100 = 9,23 Volts.

ZccL = VccL / INominal = 9,23 * 0,230 =  40 mΩ.

RccR = ZccL * Cosϕ = 40 * 0,4175 = 16,7 mΩ.

XLcc =√ [ (ZccL)2 -  (RccR)2 ] = 36,3470 mΩ.

Lcc = XLcc / (2 * π * f ) = 36,3470 / (2 * 3.1416 *50) =   0,0001 H = 0,1156 mH.

 

ZNominal = VNominal / INominal = 400 / 0,230 = 1.732,0508 mΩ.

RNominal = ZNominal * Cosϕ = 1.732,0508  * 0,4175 = 723,1312 mΩ.

XLNominal = √ [ (ZNominal)2 -  (RNominal)2 ] = √ [ (1.732,0508)2 – (723,1312)2 ] = 1.573,8745  mΩ.

LNominal = XLNominal / (2 * π * f ) = (1573,8745 * 1.000) / ( 2 * 3,1416 * 50) = 0,0050 = 5,0097 mH

 

Conductores

XLConductor = XL Km * Km = ( 0,1* 1000) * 0,4 = 40 mΩ.

LConductor = XConductor / (2 * π * f ) = (40 * 1.000) / ( 2 * 3,1416 * 50) =  0,127323954= 0,127 mH

RConductor R = [( ρ * L)  / S ] * 1000 = [(1,72 * 400) / 150 ] * 1000 = 45,86 mΩ

 

Carga 1

SNominal1.1 = (rpm -rpmNominal) / rpm = (3.000 – 2.920) / 3.000 = 0,0266   Idénticas para cargas 1.1, 1.2, 1.3, 1.4

ArcosenoCarga1.1 = Arcos(cos φN1.1) =Arcos(0,85) = 31,78º     ► 0,5548 radCarga1.1   Idénticas para cargas 1.1, 1.2, 1.3, 1.4

ICarga1.1 = PCarga1.1 / (√3 * VNominal * cos φN1.1) = 11 * 1000 / (1,73 * 400 * 0,85) = 18,6789 A. Idénticas para cargas 1.1, 1.2, 1.3, 1.4

ZCarga1.1 = VNominal / ICarga1.1 = 400 / 18,6789 = 21,4144 Ω. Idénticas para cargas 1.1, 1.2, 1.3, 1.4

RCarga1.1 = ZCarga1.1  * cos (radCarga1.1) =21,4144 * cos (0,5548)  = 18,2022 Ω.  Idénticas para cargas 1.1, 1.2, 1.3, 1.4

XLCarga1.1 = √ [ (ZCarga1.1)2 -  (RCarga1.1)2 ] = √ [ (21,4144)2 – (18,2022)2 ] =  11,2807 Ω. Idénticas para cargas 1.1, 1.2, 1.3, 1.4

L = XCarga1.1 / (2 * π * f ) =  11,2807 / (2 * π * 50) = 0,0359 H = 35,9077 mH.  Idénticas para cargas 1.1, 1.2, 1.3, 1.4

 

SNominal1.5 = (rpm -rpmNominal) / rpm = (1.500 – 1.425) / 1.500 = 0,05   Idénticas para cargas 1.5, 1.6

ArcosenoCarga1.5 = Arcos(cos φN1.5) =Arcos(0,85) = 31,78º     ► 0,5548 radCarga1.5  Idénticas para cargas 1.5, 1.6

ICarga1.5 = PCarga1.1 / (√3 * VNominal * cos φN1.1) = 3 * 1000 / (1,73 * 400 * 0,85) =  5,0942 A. Idénticas para cargas 1.5, 1.6

ZCarga1.5 = VNominal / ICarga1.5 = 400 / 5,0942  = 78,5196 Ω.  Idénticas para cargas 1.5, 1.6

RCarga1.5 = ZCarga1.5  * cos (radCarga1.5) =  78,5196 * cos (0,5548)  =  66,7416 Ω.  Idénticas para cargas 1.5, 1.6

XLCarga1.5 = √ [ (ZCarga1.5)2 -  (RCarga1.5)2 ] = √ [ (78,5196)2 – (66,7416)2 ] =  41,3627 Ω. Idénticas para cargas 1.5, 1.6

L = XLCarga1.5 / (2 * π * f ) =  41,3627 / (2 * π * 50) = 0,1316H = 131,6618 mH.  Idénticas para cargas 1.5, 1.6

 

1 / LTotal1-6 = 1/ LCarga 1.1 + 1/ LCarga 1.2 + 1/ LCarga 1.3 + 1/ LCarga 1.4 + 1/ LCarga 1.5 + 1/ LCarga 1.6 = 1 /35,9077  + 1 /35,9077   + 1 /35,9077  + 1 /35,9077   + 1 /131,6618   + 1 /131,6618   = 0,1265  mH.

1 / RTotal1-6 = 1/ RCarga 1.1 + 1/ RCarga 1.2+ 1/ RCarga 1.3  + 1/ RCarga 1.4+ 1/ RCarga 1.5  + 1/ RCarga 1.6 = 1 / 18,2022  + 1 / 18,2022  + 1 / 18,2022  + 1 / 18,2022  + 1 / 66,7416 + 1 / 66,7416 = 4,0045 Ω = 4004,5014 mΩ.

 

Carga 2

SNominal2.1 = (rpm -rpmNominal) / rpm = (1.500 – 1.460) / 1.500 =  0,0266 Idénticas para cargas 2.1, 2.2

ICarga2.1 = PCarga2.1 / (√3 * VNominal * cos φN2.1) = 11 * 1000 / (1,73 * 400 * 0,82) =  19,3623 A. Idénticas para cargas 2.1, 2.2

ZCarga2.1 = VNominal / ICarga2.1 = 400 / 19,3623 =  20,6586 Ω

cosenoCarga2.1 = Arcos(cos φN2.1) =Arcos(0,82) =  34,91º   ►  0,6093 radCarga2.1   Idénticas para cargas 2.1, 2.2

RCarga2.1 = ZCarga2.1  * cos (radCarga2.1) = 20,6586 * cos (0,6093)  =  16,9400 Ω.  Idénticas para cargas 2.1, 2.2

XLCarga2.1 = √ [ (ZCarga2.1)2 -  (RCarga2.1)2 ] = √ [ (20,6586)2 – (16,9400)2 ] =  11,8242 Ω

L = XLCarga2.1 / (2 * π * f ) = 11,8242  / (2 * π * 50) = 0,0376H = 37,6377 mH.  Idénticas para cargas 2.1, 2.2

Las resistencia e inductancia de 2.2 y 2.3 ya se han resuelto anteriormente en 1.1 por lo que arrojan sus valores calculados.

L2.3 = 35,9077  mH ;           L2.4 =35,9077 mH.

R2.3 = 18,2022 Ω;                 R2.4 =18,2022  Ω;

 

1 / LTotal1-4 = 1/ LCarga 2.1 + 1/ LCarga 2.2 + 1/ LCarga 2.3 +1/ LCarga 2.4 = 1 / 37,6377  + 1 /  37,6377   + 1 /  35,9077    + 1 /    35,9077   = 9,1881 mH.

1 / RTotal1-4 = 1/ RCarga 2.1 + 1/ RCarga 2.2 + 1/ RCarga 2.3 + 1/ RCarga 2.4 = 1 /16,9400     + 1 / 16,9400   + 1 /18,2022   + 1 /  18,2022 = 4,3871  Ω = 4.387,1290  mΩ.

 

Grupo de Reactiva: .

INC1 = Q C1 * 1000 / (√ 3 * VN) = 2,5 * 1000 / (√ 3 * 400) =  6,25 A.

INC2 = Q C2 * 1000 / (√ 3 * VN) = 5 * 1000 / (√ 3 * 400) = 12,5 A.

INC3 = Q C3 * 1000 / (√ 3 * VN) = 10 * 1000 / (√ 3 * 400) = 25 A.

INC4 = Q C4 * 1000 / (√ 3 * VN) = 20 * 1000 /(√ 3 * 400) =  50 A.

 

PPerdidasC1 =  Q C1  * tgδ = (2,5 * 1000) *  5*10-4  =  1,25 W

PPerdidasC2 =  Q C2  * tgδ = (5 * 1000) *  5*10-4  =  2,5 W

PPerdidasC3 =  Q C3  * tgδ = (10 * 1000) * 5*10-4 =  5 W

PPerdidasC4 =  Q C4  * tgδ = (20 * 1000) *   5*10-4 =  25 W

 

RC1= PPerdidasC1 / INC1 =  1,25 / 6,25  = 0,2 Ω.

RC2= PPerdidasC2 / INC2 =  2,5  / 12,5 = 0,2 Ω.

RC3= PPerdidasC3/ INC3 = 5 / 25 = 0,2 Ω

RC3= PPerdidasC3 / INC3 = 25 / 50  = 0,5Ω

 

Cc1 = QC1 / [ (VN)2 * 2 * π * 50] = 2,5 * 1000 / [ (400)2 * 2 * π * 50] = 49,7359 μF

Cc2 = QC2 / [ (VN)2 * 2 * π * 50] = 5 * 1000 / [ (400)2 * 2 * π * 50] =  99,4718 μF

Cc3 = QC3 / [ (VN)2 * 2 * π * 50] = 10 * 1000 / [ (400)2 * 2 * π * 50] = 198,9436 μF

Cc4 = QC4 / [ (VN)2 * 2 * π * 50] = 20 * 1000 / [ (400)2 * 2 * π * 50] = 397,8873 μF

 

1 / RTotalC1-C4 = 1/ RC1 + 1/ RC2 + 1/ RC3 + 1/ RC4 = 1 / 0,2   +  1 / 0,2 +  1 / 0,2  + 1 / 0,2  = 0,0588  Ω = 58,8235  mΩ.

CTotalC1-C4 = C c1 + C c2 + C c3 + C c4 = 49,7359 + 99,4718 + 198,9436 + 397,8873 = 746,0387 μF

 

Fuente rectificada:

El orden de armónicos será  h = k*q ± 1, por lo tanto, para los dos primeros números positivos es:

k = 1 ; h = k*q ± 1 = 1 * 6 -1 = 5º

k = 1; h = k*q ± 1 = 1 * 6 + 1 = 7º

k = 2; h = k*q ± 1 = 2 * 6 -1 = 11º

k = 2; h = k*q ± 1 = 2 * 6 +1 = 13º

Una vez obtenidas las inductancias y resistencias parciales, se puede simplificar el circuito hasta que solo nos queden dos elementos, uno capacitivo y otro inductivo, en donde procederemos a calcular, la frecuencia de resonancia.

Como los conductores y el transformador están en serie calculamos su equivalente:

REQV1 = RNominal + Rconductor = 723,1312 + 45,8666 = 768,9978  mΩ.

LEQV1 = LNominal + Lconductor = 5,0097 + 0,1273 = 5,6403 mH.

 

Ahora que tenemos solo ramas en paralelo calcularemos su equivalente:

1/ REQV2 = 1 / REQV1 + 1 / RTotalCarga1 + 1 / RTotalCarga2 =  1 / 768,9978   + 1 / 4.004,5014  + 1 / 4.387,1290  =  562,4131 mΩ.

1/ LEQV2 = 1 / LEQV1 + 1 / LTotalCarga1 + 1 / LTotalCarga2 = 1 / 5,6403  + 1 / 0,1265 + 1 / 9,1881 = 0,1219 mH.

 

Por lo tanto la frecuencia de resonancia será:

 

Fresonancia =  1 / [2  * π *  √ (LEQV2 * CEQV2)] = 1 / [2  * π *  √ (0,121903529 * 746,0387957) ] = 527,75 Hz

Si consideramos que en un primer instante, todas las cargas están conectadas y procedemos a poner en marcha el equipo de compensación de reactiva, las capacidades existentes en el sistema, serán las sumas de los escalones hasta la totalidad de los mismos, por lo que se puede comprobar las diferentes frecuencias de resonancia del sistema.

 

Fresonancia1 =  1 / [2  * π *  √ (LEQV2 * C 2,5Kvar)] = 1 / [2  * π *  √ (0,121903529  * 0,0000497359) ] =  2043,98 Hz →  ≈ 41ª armónica.

Fresonancia2=  1 / [2  * π *  √ (LEQV2 * C2,5 + 5 Kvar)] = 1 / [2  * π *  √ (0,121903529  * 0,0001492077) ] = 1.180,09 Hz →  ≈ 24ª armónica

Fresonancia3 =  1 / [2  * π *  √ (LEQV2 * C2,5 + 5 + 10 Kvar)] = 1 / [2  * π *  √ (0,121903529   * 0,0003481513) ] = 772,55 Hz →  ≈ 16ª armónica

Fresonancia =  1 / [2  * π *  √ (LEQV2 * CEQV2)] = 1 / [2  * π *  √ (0,121903529  * 746,0387957) ] = 527,75 Hz →  ≈ 11ª armónica  Hz

 

Como se observará en la siguiente grafica obtenida con un analizador de redes, las capacidades magnifican el fenómeno de las armónicas, sobre todo, cuando se produce el fenómeno de la sobrecompensación (factor de potencia capacitivo). En otra sección de esta misma web analizamos el problema de la sobrecompensación, por lo que si está interesado pulse aquí.

 

 

 

Como antes ya hemos comentado el fenómeno de la resonancia, conlleva sobretensiones y sobreintensidades en el circuito. Dicho proceso es dinámico (Cargas que se conectan y desconectan) variando los valores de resonancia en el tiempo; siendo su determinación exacta extremadamente compleja.

Usualmente se emplea un sistema más sencillo de tanteo que el anterior, donde se parte del supuesto que la impedancia menor es la de la fuente de suministro y se desprecian las de las cargas.

Ya que la intensidad será limitada por impedancia de la fuente; el efecto posible más desfavorable será cuando se produzca resonancia con ella a efectos de sobreintensidades, es obvio que una resonancia con la fuente siempre tendrá intensidades mayores, que una resonancia con una carga generadora de armónicos.

En nuestro cálculo (visto desde el lado de baja tensión) se observa que dicha impedancia es la menor de todas, menor que la equivalente de las cargas existentes, por lo que la intensidad estará limitada por esta impedancia de la fuente. 

ZTransformador = 40 mΩ.                     ZConductor = 60,8534 mΩ.                 ZCarga1 = 4.0046  mΩ.             ZCarga2 = 5.2515  mΩ.      

 

Para esta especulación, referida a la impedancia de la fuente,  se aplican las siguientes expresiones (visto desde el lado de baja tensión):   

Donde Scc (Potencia cortocircuito) es proporcional a la Potencia Nominal del transformador (Kva) y a la tensión de cortocircuito ucc(%).       

Donde f0 es la frecuencia fundamental, STransformador la potencia aparente del transformador (MVA), ucc tensión de cortocircuito (%), Qcondensador potencia de la batería de condensadores (Kvar). O bien la segunda expresión donde f0 es proporcional a Scc del transformador (Kva) y a Qcondensador potencia batería condensadores (Kva).    

De la última expresión podemos obtener:

en donde Qh es la capacidad necesaria para la resonancia en el armónico (Kvar)Scc (Kva) y h es el orden de armónico
 

Para el ejemplo el valor es:

Scc =  SN / ucc = 160 / 4 = 4.000 Kva.

f0 =√ (100 * SN) / (ucc * QCondensador ) = √ (100 * 160) / (4 * 37,5) = 516,39 Hz  →  ≈ 11ª armónica.

O bien f0 = Scc / QCondensador = 4.000 / 37,5 = 516,39 Hz  →  ≈ 11ª armónica.

 

Si aplicamos los valores del ejemplo, y despreciamos las cargas obtenemos para la situación más desfavorable:

Fresonanciacc  =  1 / [2  * π *  √ (Lcc* C Total)] = 1 / [2  * π *  √ (0,115696339  * 0,0000497359) ] =  541,72 Hz →  ≈ 11ª armónica.

 

Es decir el efecto más perjudicial en relación a la fuente sería la resonancia producida en la 11ª armónica, la más próxima a la frecuencia de oscilación.

Por lo que tenemos las siguientes frecuencias próximas a las resonancias posibles en el sistema:

  • 11ª (527,75 Hz) armónica con la totalidad de la carga y 37,5Kvar de capacitiva.
  • 16ª (772,55 Hz) armónica con la totalidad de la carga y 17,5Kvar de capacitiva.
  • 24ª (1.180,09 Hz) armónica con la totalidad de la carga y 7,5Kvar de capacitiva.
  • 41ª (2.043,98 Hz) armónica con la totalidad de la carga y 2,5Kvar de capacitiva.
  • 11ª (541,72 Hz) armónica en vacío y 37,5 Kvar de capacitiva.

 

No debemos olvidar que el valor nominal de las capacidades tiene una tolerancia de -5% a +10% de la capacidad nominal, y que la capacidad varía con la temperatura del condensador, por lo que los valores dependerán de estos factores, variando más o menos las frecuencias calculadas.

Las corrientes armónicas se distribuyen por los sistemas eléctricos, de la misma forma que las corrientes de frecuencia fundamental, esa distribución dependerá de la capacidad de la fuente que las genera, y de los valores de las impedancias de la red eléctrica.

El análisis de los flujos de corriente se lleva a cabo mediante las leyes de Kirchhoff para cada armónico, teniendo en consideración la variación de las impedancias de los elementos en función de la frecuencia.

 

Nuestra carga alineal es un rectificador de seis pulsos, por lo que los armónicos en % que generará serán si no hay otro tipo de indicación:

 

I5 = 20%, I7 = 14,28%, I11 = 9%, I13 = 0,07% y I17 = 0,06%.

 

La Intensidad será la suma vectorial de las armónicas y la fundamental:

 

Ih (%) = √  (Io)2 + ( I5 ) 2 + ( I7 ) 2 + ( I11) 2 + ( I13 ) 2 + ( I17) 2 = √ (100)2 + (20)2 +(14,28)2 +(9)2 +(0,07)2 +(0,06)2 = 103,36%

 

Las tensiones armónicas que aparecen, son las caídas de tensión provocadas por las intensidades armónicas. Estas intensidades son proporcionales a XL y esta a su vez de la frecuencia, por lo que podemos expresar:

Uh (%) = Ih (%) / h    Donde Uh es la tensión armónica, Ih la intensidad armónica, y h el armónico.

Uh5 = 20 / 5 = 4%.

Uh7 = 14,28 / 7 = 2,04%.

Uh11 = 9 / 11 = 0,81%.

Uh13 = 0,07 / 13 = 0,005%.

Uh17 = 0,06 / 17 = 0,003%

 

 

Por lo que la tasa de distorsión de tensión será:

THDu = √  (VNominal)2 + ( Uh5 )2 + ( Uh7 )2 + ( Uh11 )2 + ( Uh13 )2 + ( Uh17 )2 = √ (100)2 + (4)2 + (2,04)2 + (0,81)2 + (0,005)2 + (0,003)2 = 100,10%

 

Calculamos los valores de la intensidad, para todos los valores de frecuencia de XL y Z por lo que tenemos:

Carga1:                (4.004,50mΩ, 0,12 mH)

XL0 = 2  * π *  f * L = 2 * 3,14 * 50 * 0,12) = 39,7684 mΩ.

Z0 = √ [ (R)2 + (XL)2] = √ [ (4004,50)2 + (39,7684)2 ] = 4004,69 = 4,00 Ω.

I0 = VNominal / Zo  = 400 / 4,00 = 99,88 A.

 

XL5 = 2  * π *  h5 * L = 2 * 3,14 * 250 * 0,12) =  198,8422 mΩ.

Z5 = √ [ (R)2 + (XL)2] = √ [ (4004,50)2 + (198,8422)2 ] = 4009,43 = 4,00 Ω.

I5 = [ ( VNominal * Uh5) / 100 ] / Zo  = [ (400 * 4) / 100 ] / 4,00 = 3,99 A.

 

XL7 = 2  * π *  h7 * L = 2 * 3,14 * 350 * 0,12) =278,3791  mΩ.

Z7 = √ [ (R)2 + (XL)2] = √ [ (4004,50)2 + (278,3791)2 ] = 4014,16 = 4,01Ω.

I7 = [ ( VNominal * Uh7) / 100 ] / Zo  = [ (400 * 2,04) / 100 ] / 4,01 = 2,03 A.

 

XL11 = 2  * π *  h11 * L = 2 * 3,14 * 550 * 0,12) = 437,4530 mΩ.

Z11 = √ [ (R)2 + (XL)2] = √ [ (4004,50)2 + (437,4530)2 ] = 4028,32 = 4,02Ω.

I11 = [ ( VNominal * Uh11) / 100 ] / Zo  = [ (400 * 0,81) / 100 ] / 4,02 = 0,80  A.

 

El proceso se repite para todas las cargas y el resto de frecuencias armónicas, obteniendo los siguientes valores:

 

 

Como se apreciará el incremento de corriente mayor, lo realiza la batería de compensación, porque la impedancia de las capacidades, es inversamente proporcional a la frecuencia, caso contrario con las inductancias que aumentan el valor de Z con la frecuencia.

Del mismo modo, las cargas con componentes resistivas mayores experimentan un incremento menor, ya que dicha componente atenúa el valor de la XL, dependiente de la frecuencia, en nuestro caso la Carga2 permanece casi invariable, en proporción a la Carga1 con una componente resistiva menor.

En el ejemplo anterior se han aplicado valores muy bajos de distorsión armónica, considerando que el suministro carece absolutamente de ellos, si en lugar de aplicar estos valores, aplicamos los valores máximos permitidos de armónicos importados, según la EN 50 -160, considerando la posible tolerancia de la tensión de suministro (±10%)  tenemos:

 


 

En la tabla anterior donde se muestran los valores posibles, con una tensión nominal y con el valor máximo admisible de la misma, se aprecia igualmente que el Grupo de Reactiva, es el que ve incrementada su intensidad nominal mayormente, por las razones que hemos expuesto anteriormente.

Hasta ahora hemos asumido que las intensidades armónicas circulantes serán las inyectadas por las cargas alineales, y que los valores de las tensiones armónicas serán el producto de estas. Siendo exactos, los valores de las armónicas circulantes, estarán atenuados en mayor o menor medida, influenciadas por los siguientes factores del sistema eléctrico:

  • Impedancia de cortocircuito de la fuente, a mayor impedancia menor atenuación. Si aumenta la capacidad de cortocircuito, y la capacidad permanece invariable, el orden del armónico donde se produce la resonancia aumentará. En caso contrario si se mantiene la capacidad de cortocircuito invariable, y se aumenta la capacidad, el orden de armónico disminuirá.
  • A la relación existente en el sistema de XL / R, vista desde la fuente de corrientes armónicas ya que se encuentra en paralelo con las cargas y equipos de la red eléctrica.
  • A la carga del sistema, ya que la relación XL / R aumentará, a menor carga se producirá un aumento de las mismas.
  • Cuando existe más de un receptor no lineal, se introduce el factor de diversidad FDh, que varía entre 0 y 1 y relaciona las dispersiones en el ángulo de fase de los armónicos de las cargas. Un valor próximo a cero es una atenuación elevada. 

    El factor de diversidad de corriente, para cualquier armónico h y un conjunto de cargas n conectadas en paralelo, como la magnitud de fasor de la corriente de red, dividido por la suma de las magnitudes individuales, para el armónico h.

  • Al factor de Atenuación FAh, que cuantifica la atenuación que produce la propia impedancia del sistema, por la correspondiente distorsión de tensión que tiende a reducir las corrientes armónicas de la red producidas por las cargas alineales. 

              Donde Ih (n) corriente para el armónico con n cargas conectadas en paralelo, Ih (1) corriente para el armónico                         k con una sola carga conectada.

 

Se debe considerar que en un sistema trifásico existirán diferentes tensiones armónicas y corrientes armónicas por fase, o fase-neutro y que el valor de las mismas dependerá de las cargas conectadas, por lo que los valores de armónicos variaran entre las mismas.

 

Hemos desarrollado diferentes ejemplos simplificados, donde se aprecia la influencia de los armónicos en el sistema eléctrico, y los valores arrojados de los mismos, si bien estos pueden parecer asumibles, en la próxima sección detallaremos los perjuicios económicos y técnicos que conllevan.

Si desea ampliar con los efectos armónicos en la instalación y receptores acceda a la sección: Presencia de Armónicos – 2 (Efectos conductores de alimentación, máquinas asíncronas, maquinas asíncronas, capacidades, equipos corrección del factor de potencia), o bien pulse aquí.

 

 

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