Efectos de los armónicos.


Efectos sobre los conductores de fase y neutro.

Los conductores que alimentan las diferentes cargas están calculados para cargas lineales y para una tensión sinusoidal. La sección de cálculo es un compromiso entre la caída de tensión para la potencia a transportar, la densidad de corriente máxima admisible por el conductor, la temperatura en régimen de funcionamiento, el modo de instalación y la legislación técnica aplicable.

La presencia de contenido armónico, significa que las propias cargas eléctricas incrementarán las corrientes circulantes y que se producirán efectos por la presencia de las mismas en los propios conductores.

La sección de cálculo de un conductor de una longitud inferior a 5Km, con una caída máxima de tensión, se define como:   

Donde P (W)  la potencia activa a transportar, L(m) es la longitud de la línea, ρ (Ω∙mm²/m)es la resistividad, c = incremento de la resistencia con la frecuencia, Un (V) la tensión nominal y  ∆Voltaje (V) la máxima caída de tensión permitida.

La resistividad del material conductor, depende de la temperatura del mismo y se define como: 

Donde ρ ºC (Ω∙mm²/m) es la resistividad del cobre a una temperatura dada, ρ 20ºC (Ω∙mm²/m) tiene el valor de 0,01724  a 20ºC o de 1 / 58 que es el valor de la conductividad σºC  su inversa a 20ºC = 58 , α es coeficiente de variación con la temperatura de la resistencia a 20 ºC (0,0392 Cu).

Por lo tanto la resistencia de un conductor de una sección dada se define como:  

Donde ρ  (Ω∙mm²/m) es la resistividad del cobre a una temperatura dada, L la longitud del conductor (m) , S la sección del conductor en mm2.

La potencia perdida por un conductor en el efecto Joule se define como: 

Donde P es la potencia calorífica en (W), I es la intensidad que recorre el conductor y R la resistencia del conductor en Ω.

Cuando un conductor es recorrido por una corriente alterna, dicha corriente no se reparte uniformemente por la sección del conductor, sino que tiende a concentrarse en la parte exterior del mismo. A este efecto se le denomina efecto pelicular, efecto skin, o efecto Kelvin.


Este fenómeno hace que la sección por donde circula la corriente sea menor que en corriente continua, incrementándose la resistencia del mismo, en comparación con el valor de corriente continua.

Este efecto es debido al campo magnético variable creado por la corriente que lo atraviesa, induciendo a la vez en el seno del conductor, una diferencia de potencial, que a su vez crea corrientes que se oponen parcialmente a la corriente que lo recorre.

Es mucho más evidente en secciones grandes, o en frecuencias superiores a 300Hz (7ª Armónica) volviéndose muy significativo. Por esa razón para grandes intensidades se emplean conductores en paralelo o la típica disposición de la barra de Roebel   en el caso de bobinados de máquinas.

 

El espesor de la piel  es una aproximación al fenómeno descrito, en donde se supone que toda la corriente que transporta el conductor, circula por una cascara de espesor imaginaria, siendo en este espesor la densidad de corriente uniforme y nula en el interior, visto todo ello desde el efecto Joule.

Sin querer entrar en más detalles, la profundidad de dicha capa a frecuencia industrial de 50Hz es de 8,5mm, lo que supone que secciones geometricas superiores a la misma seran un despilfarro de material conductor.

Cuando un conductor es recorrido por una corriente, perturba a los conductores cercanos al mismo, es el el llamado efecto de proximidad y depende de la geometría, disposición de los conductores, resistividad del material y la frecuencia de la corriente

El incremento por el efecto piel y por proximidad se define como:

En conductores de gran sección se ha de considerar el efecto piel o skin y el factor de proximidad, ambos factores dependen de la geometría de los conductores, y para simplificar en secciones menores, se desprecia en comparación con la resistencia del conductor. No obstante en instalaciones interiores, es factible suponer un incremento del 2% con respecto al valor en continua.

La caída de tensión máxima de cálculo se define como: 

Donde la ∆Voltaje(V) es la caída de tensión máxima, R(Ω) es la resistencia del conductor, XL(Ω) es la reactancia de la línea, tanϕ es la tangente del ángulo correspondiente al factor de potencia de la carga, PNominal(W) es la potencia nominal de la carga y VFase (V) es la tensión de línea.

La intensidad que recorre un conductor, debido al suministro de una carga trifásica es: 

Donde la INominal (A) es la intensidad nominal, P(W) es la potencia nominal, VNominal (V) es la tensión de red, y cos ϕ es el desfase, o expresado de otra forma,  donde VNominal (V)  es la tensión de red y Z(Ω) es la impedancia de la carga.

La impedancia es la resultante de la componente resistiva y de la inductancia o capacitancia según sea el tipo de receptor.

 

 

Retomemos el ejemplo de la anterior sección y consideremos en este, el efecto en los conductores, visto desde el lado de baja tensión y sin tener en cuenta los desfases.

 

 

Para las secciones descritas podemos obtener las perdidas por el efecto Joule, considerando la temperatura del conductor:

 

 

ρ90ºC  = ρ20ºC * { 1 + [ α * (Temp L0  -  20ºC)]} = 0,0172 * { 1 + [0,00392 * (90ºC ­ 20ºC)]} = 0,0219 Ω.mm2/m (Igual para L1,L2,L3,L4)

 

RL0 = ρ90ºC * ( L / S) = 0,0185 * ( 40 / 150) = 0,0058 Ω

RL1 = ρ90ºC * ( L / S) = 0,0185 * ( 50 / 6) =  0,1831 Ω

RL2 = ρ90ºC * ( L / S) = 0,0185 * ( 100 / 25) = 0,0878  Ω

RL3 = ρ90ºC * ( L / S) = 0,0185 * ( 100 / 25) = 0,0878  Ω

RL4 = ρ90ºC * ( L / S) = 0,0185 * ( 15 / 10) =  0,0329 Ω

 

A los valores de resistencia se aplica el efecto de proximidad y el efecto piel, por lo que tenemos:

RL0 = RL0 * c = 0,0058 * 1,02 = 0,0059 Ω

RL1 = RL1 * c = 0,1831 * 1,02 = 0,1867 Ω

RL2 = RL2 * c = 0,0878 * 1,02 = 0,0896 Ω

RL3 = RL3 * c = 0,0878 * 1,02 = 0,0896 Ω

RL4 = RL4 * c = 0,0329 * 1,02 = 0,0336 Ω

 

Calculando el efecto Joule de las líneas tenemos las siguientes potencias perdidas:

PRL0 = I2 * RL0 =  (182,82) 2  * 0,0059 = 199,76 W

PRL1 = I2 * RL1 =  (32,07) 2  * 0,1867 = 192,14 W

PRL2 = I2 * RL2 =  (84,90) 2  * 0,0896 = 646,24 W

PRL3 = I2 * RL3 =  (76,51) 2  * 0,0896 = 524,86 W

PRL4 = I2 * RL4 =  (59,53) 2  * 0,0336 = 199,17 W

 

Por lo que tenemos las siguientes potencias de pérdidas para las líneas existentes:

 

La inductancia de los conductores depende de la geometría de los mismos, y es independiente de la corriente que circula, una aproximación del valor de la misma se puede obtener teniendo en consideración los datos del fabricante del conductor y los valores de la resistencia del mismo:

 

Para los valores de la intensidad nominal de cada línea tenemos los siguientes valores de V/A Km dados por el fabricante a cos ϕ =1, por lo que las líneas tienen una caida de tensión de:

V/A L0 = [ (KV/AKm / 1.000) * L0 ] * INominal = [(0,28 / 1.000) * 40] * 182,82 = 2,04 V

V/A L1 = [ (KV/AKm / 1.000) * L1 ] * INominal = [(6,74 / 1.000) * 50] * 32,07 =  10,80 V

V/A L2 = [ (KV/AKm / 1.000) * L2 ] * INominal = [(1,59 / 1.000) * 100] * 84,90 =  13,49 V

V/A L3 = [ (KV/AKm / 1.000) * L3 ] * INominal = [(1,59 / 1.000) * 100] * 76,51 =  12,16 V

V/A L4 = [ (KV/AKm / 1.000) * L4 ] * INominal = [(4 / 1.000) * 15] * 59,53 =  3,57 V

 

Dada la caida de tensión debida al efecto de la resistencia onhmica (90º Fabricante) y de la inductancia se puede calcular el valor de la impedancia para esa caida de tensión:

ZL0 = ∆V0 / INominal 0 = 2,04 /  182,82 = 0,011 Ω

ZL1 = ∆V1 / INominal 1 = 10,80 /  32,07 = 0,337 Ω

ZL2 = ∆V2 / INominal 2 = 13,49 /  84,90 = 0,159 Ω

ZL3 = ∆V3 / INominal 3 = 12,16 /  76,51 = 0,159 Ω

ZL4 = ∆V3 / INominal 4 = 3,57 /  59,53 = 0,060 Ω

 

Anteriormente hemos obtenido el valor de la resistencia onhmica de las líneas.

RL0 = 0,0059Ω, RL1 = 0,1867Ω, RL2 = 0,0896Ω, RL3 = 0,0896Ω, RL4 = 0,0336Ω.

 

La XL en cada línea será:

XLL0 = √ [ ( ZL0) 2 – (RL0)2 ] = √ (0,011)2 – (0,005)2 = 0,0095 Ω

XLL1 = √ [ ( ZL1) 2 – (RL1)2 ] = √ (0,033)2 – (0,186)2 = 0,2829 Ω

XLL2 = √ [ ( ZL2) 2 – (RL2)2 ] = √ (0,159)2 – (0,089)2 = 0,1325 Ω

XLL3 = √ [ ( ZL3) 2 – (RL3)2 ] = √ (0,159)2 – (0,089)2 = 0,1325 Ω

XLL4 = √ [ ( ZL4) 2 – (RL4)2 ] = √ (0,060)2 – (0,033)2 = 0,0501 Ω

 

Y la inductancia es:

LL0 = XLL0 / (2 * π * f ) = 0,0095 / (2 * 3,1416 * 50) = 3,03829E-05 H → 0,0303 mH

LL1 = XLL1 / (2 * π * f ) = 0,2829 / (2 * 3,1416 * 50) =  0,000900553 H → 0,9005 mH

LL2 = XLL2 / (2 * π * f ) = 0,1325 / (2 * 3,1416 * 50) =   0,000421763 H → 0,4217 mH

LL3 = XLL3 / (2 * π * f ) = 0,1325 / (2 * 3,1416 * 50) =   0,000421763 H → 0,4217 mH

LL4 = XLL4 / (2 * π * f ) = 0,0501 / (2 * 3,1416 * 50) =   0,000159591 H → 0,1595 mH

 

Veamos ahora las perdidas de las líneas, teniendo en consideracion los armonicos existentes, y a su vez, observando el efecto de los conductores sobre las componentes armonicas.

 

Nuestra carga alineal es un rectificador de seis pulsos, con los siguientes valores armónicos de tensión e Intensidad

I0 = 100%, I5 =22,7569 %, I7 = 9,3704%, I11 = 2,6378%, I13 = 0,01501% y I17 = 0,0086%.

V0 = 100%, V5 = 4%, V7 = 2,04%, V11 = 0,8181%, V13 = 0,0053%, V17 = 0,0035%

 

La intensidad será la suma vectorial de las armónicas y la fundamental:

Ih (%) = √  (Io)2 + ( I5 ) 2 + ( I7 ) 2 + ( I11) 2 + ( I13 ) 2 + ( I17) 2 = √ (100)2 + (22,7569)2 +(9,3704)2 +(2,6378)2 +(0,01501)2 +(0,0086)2 = 103,01%.

I0 = 32,0750 A, I5 = 7,2992 A, I7 = 3,0055 A, I11 = 0,8461 A, I13 = 0,0048 A, I17 = 0,0027 A.

 

La tensión será la suma vectorial de las armónicas y de la fundamental:

Vh(%) = √ (V0)2 + (V5)2 + (V7)2 + (V11)2 + (V13)2 + (V17)2  = √ (100)2 + (2,04)2 + (0,8181)2 + (0,0053)2 + (0,0035)2 = 100,10% 

V0 = 400 V, V1 = 16 V, V5 = 8,16 V, V7 = 3,2727, V11 = 0,0215 V, V13 = 0,0141 V.

 

Las tensiones armónicas que aparecen en las líneas, son las caídas de tensión provocadas por las intensidades armónicas. Estas intensidades son el producto de la resistencia  y la inductancia, siendo esta a su vez dependiente de  la frecuencia, como ya hemos comentado anteriormente.

Como esas intensidades circularan por los conductores, y estos a su vez presentan una oposición a su paso, determinada por la impedancia de los mismos, se ha de producir al final de la linea una caida de la tensión armonica. Partiendo del generador de armónicas tenemos:

RL1 = 0,1867Ω.

XLL15 (250Hz) = 2 * π * f * LL1 = 2 * 3,1416 * 250 * 0,0009 = 1,4145 Ω

XLL17 (350Hz) = 2 * π * f * LL1 = 2 * 3,1416 * 350 * 0,0009 = 1,9804 Ω

XLL111 (550Hz) = 2 * π * f * LL1 = 2 * 3,1416 * 550 * 0,0009 = 3,1120 Ω

XLL113 (650Hz) = 2 * π * f * LL1 = 2 * 3,1416 * 650 * 0,0009 = 3,6779 Ω

XLL117 (850Hz) = 2 * π * f * LL1 = 2 * 3,1416 * 850 * 0,0009 = 4,2437 Ω

 

ZL15 (250 Hz) = √ (RL1)2 + (XLL15 (250 Hz))2 = √ (0,1867)2 + (1,4145)2 = 1,4145 Ω

ZL17 (350 Hz) = √ (RL1)2 + (XLL17 (350 Hz))2 = √ (0,1867)2 + (1,9804)2 =  1,9804 Ω

ZL111 (550 Hz) = √ (RL1)2 + (XLL111 (550 Hz))2 = √ (0,1867)2 + (3,1120)2 = 3,1120 Ω

ZL113 (650 Hz) = √ (RL1)2 + (XLL111 (650 Hz))2 = √ (0,1867)2 + (3,6779)2 = 3,6779 Ω

ZL117 (850 Hz) = √ (RL1)2 + (XLL111 (850 Hz))2 = √ (0,1867)2 + (4,2437)2 = 4,2437 Ω

 

La caída de tensión en la línea valdrá:

V∆L15(250Hz) = ZL15 (250 Hz) * I5 = 1,4145 * 7,2992  = 10,3255 V

V∆L17(350Hz) = ZL17 (350 Hz) * I7 = 1,9804 * 3,0055 = 5,9523 V

V∆L111(550Hz) = ZL111 (550 Hz) * I11 = 3,1120 * 0,8461 = 2,6331 V

V∆L113(650Hz) = ZL113 (650 Hz) * I13 = 3,6779 * 0,0048 = 0,0177 V

V∆L117(850Hz) = ZL117 (850 Hz) * I17 = 4,2437 *  0,0027= 0,0117 V

 

Y la tensión existente en el punto ❷ es igual a:

V 1-25 (250Hz) = V15(250Hz) - V∆L15(250Hz)  = 16 - 10,3255 = 5,6744 V → 1,4186 %

V 1-27 (350Hz) = V17(350Hz) - V∆L17(350Hz)  = 8,16 - 5,9523 = 2,2076 V → 0,5519%

V 1-211 (550Hz) = V111(550Hz) - V∆L111(550Hz)  = 3,2727 - 2,6331 = 0,6395 V → 0,1598%

V 1-213 (650Hz) = V113(650Hz) - V∆L113(650Hz)  =  0,0215 - 0,0177 = 0,0038 V → 0,0009%

V 1-217 (850Hz) = V117(850Hz) - V∆L117(850Hz)  = 0,0141 - 0,0117 = 0,0023 V → 0,0005%

 

Todas las cargas desde el punto ❷ estarán sometidas a las tensiones armónicas calculadas, siendo las corrientes proporcionales a la impedancia de la carga y el conductor, a la frecuencia dada, por lo que en el punto número ❸ tenemos:

Las impedancias de las cargas a las diferentes frecuencias, ya han sido calculadas en el ejemplo anterior y son: ZCarga15(250Hz) = 4,0094Ω,  ZCarga17(350Hz) = 4,01416Ω,  ZCarga111(550Hz) = 4,0283Ω,  ZCarga113(650Hz) = 4,0377Ω, ZCarga117(850Hz) = 4,0486Ω.

RL2 = 0,0896 Ω.

XLL25 (250Hz) = 2 * π * f * LL2 = 2 * 3,1416 * 250 * 0,0004 = 0,6625  Ω

XLL27 (350Hz) = 2 * π * f * LL2 = 2 * 3,1416 * 350 * 0,0004 =  0,9275 Ω

XLL211 (550Hz) = 2 * π * f * LL2 = 2 * 3,1416 * 550 * 0,0004 =  1,4575 Ω

XLL213 (650Hz) = 2 * π * f * LL2 = 2 * 3,1416 * 650 *  0,0004=  1,7225 Ω

XLL217 (850Hz) = 2 * π * f * LL2 = 2 * 3,1416 * 850 *  0,0004 =  1,9875 Ω

 

La impedancia de los conductores a las diferentes frecuencias son:

ZL25 (250 Hz) = √ (RL2)2 + (XLL25 (250 Hz))2 = √ (0,0896)2 + (0,6625)2 = 0,6685 Ω

ZL27 (350 Hz) = √ (RL2)2 + (XLL27 (350 Hz))2 = √ (0,0896)2 + (0,9275)2 = 0,9318 Ω

ZL211 (550 Hz) = √ (RL2)2 + (XLL211 (550 Hz))2 = √ (0,0896)2 + (1,4575)2 = 1,4602 Ω

ZL213 (650 Hz) = √ (RL2)2 + (XLL211 (650 Hz))2 = √ (0,0896)2 + (1,7225)2 = 1,7248 Ω

ZL217 (850 Hz) = √ (RL2)2 + (XLL211 (850 Hz))2 = √ (0,0896)2 + (1,9875)2 = 1,9895 Ω

 

La impedancia total de los conductores y la carga a las diferentes frecuencias es:

ZTotal 25(250Hz) = ZL25 (250 Hz) + ZCarga15(250Hz) = 0,6685 + 4,0094 = 4,6779 Ω

ZTotal 27(350Hz) = ZL27 (350 Hz) + ZCarga17(350Hz) = 0,9318 + 4,0141 = 4,9459 Ω

ZTotal 211(550Hz) = ZL211 (550 Hz) + ZCarga111(550Hz) = 1,4602 +  4,0283 = 5,4885 Ω

ZTotal 213(650Hz) = ZL213 (650 Hz) + ZCarga113(650Hz) =  1,7248 + 4,0377 = 5,7625 Ω

ZTotal 217(850Hz) = ZL217 (850 Hz) + ZCarga117(850Hz) =  1,9895 +  4,0486 = 6,0382 Ω

 

Las corrientes armónicas que circularán desde el punto ❷ hasta la Carga 1 son:

IL25 (250 Hz) = V 25 (250Hz) /  ZTotal 25 (250 Hz) = 5,6744 / 4,6779 =  1,2130 A → 3,7817%

IL27 (350 Hz) = V 27 (350Hz) /  ZTotal 27 (350 Hz) = 2,2076 / 4,9459 = 0,4463 A → 1,3915%

IL211(550 Hz) = V 211(550Hz) /  ZTotal 211(550 Hz) = 0,6395 / 5,4885 = 0,1165 A → 0,3633%

IL213(650 Hz) = V 213(650Hz) /  ZTotal 211(650 Hz) = 0,0038 / 5,7625 = 0,0006 A → 0,0020%

IL217(850 Hz) = V 213(850Hz) /  ZTotal 211(850 Hz) =  0,0023 / 6,0382 = 0,0003 A → 0,0012%

 

La caída de tensión en los conductores valdrá:

V∆L25(250Hz) = ZL25 (250 Hz) * IL25(250Hz)  =  0,6685 * 1,2130 = 0,8109 V

V∆L27(350Hz) = ZL27 (350 Hz) * IL27(350Hz)  =  0,1447 * 0,4463 = 0,4159 V

V∆L211(550Hz) = ZL211 (550 Hz) * IL211(550Hz)  =  0,0269 * 0,1165 = 0,1701 V

V∆L213(650Hz) = ZL213 (650 Hz) * IL213(650Hz)  =  1,7248 * 0,0006 = 0,0011 V

V∆L217(850Hz) = ZL217 (850 Hz) * IL217(850Hz)  =  1,9895 * 0,0003  = 0,0007 V

 

Por lo tanto en el punto ❸ estarán presentes las siguientes tensiones armónicas:

V 35 (250Hz) = V25(250Hz) - V∆L25(250Hz)  = 5,6744 - 0,8109 = 4,8634 V → 1,2158%

V 37 (350Hz) = V27(350Hz) - V∆L27(350Hz)  = 2,2076 - 0,4159 = 1,7917 V → 0,4479%

V 311 (550Hz) = V211(550Hz) - V∆L211(550Hz)  = 0,6395 - 0,1701 = 0,4694 V → 0,1173%

V 313 (650Hz) = V213(650Hz) - V∆L213(650Hz)  = 0,0038 - 0,0011 = 0,0026 V → 0,0006%

V 317 (850Hz) = V217(850Hz) - V∆L217(850Hz)  = 0,0023 - 0,0007 = 0,0015 V → 0,0003%

 

En el resto de líneas se procede del mismo modo, teniendo en consideración que la tensión armónica será la presente en el punto ❷, es decir en el punto común a la totalidad de ellas.

ZCarga25(250Hz) = 15,0846Ω,  ZCarga27(350Hz) = 20,6764Ω,  ZCarga211(550Hz) = 32,0534Ω,  ZCarga213(650Hz) = 37,7804Ω, ZCarga217(850Hz) = 43,5196Ω.

RL3 = 0,0896 Ω.

XLL35 (250Hz) = 2 * π * f * LL3 = 2 * 3,1416 * 250 * 0,0004 = 0,6625 Ω  →  ZL35 (250 Hz) = √ (RL3)2 + (XLL35 (250 Hz))2 = √ (0,0896)2 + (0,6625)2 = 0,6685 Ω

XLL37 (350Hz) = 2 * π * f * LL3 = 2 * 3,1416 * 350 * 0,0004 =  0,9275 Ω  →  ZL37 (350 Hz) = √ (RL3)2 + (XLL37 (350 Hz))2 = √ (0,0896)2 + (0,9275)2 = 0,9318 Ω

XLL311 (550Hz) = 2 * π * f * LL3 = 2 * 3,1416 * 550 * 0,0004 =  1,4575 Ω  →  ZL311 (550 Hz) = √ (RL3)2 + (XLL311 (550 Hz))2 = √ (0,0896)2 + (1,4575)2 = 1,4602 Ω

XLL313 (650Hz) = 2 * π * f * LL3 = 2 * 3,1416 * 650 *  0,0004=  1,7225 Ω  → ZL313 (650 Hz) = √ (RL3)2 + (XLL311 (650 Hz))2 = √ (0,0896)2 + (1,7225)2 = 1,7248 Ω

XLL317 (850Hz) = 2 * π * f * LL3 = 2 * 3,1416 * 850 *  0,0004 =  1,9875 Ω  → ZL317 (850 Hz) = √ (RL3  ”)2 + (XLL311 (850 Hz))2 = √ (0,0896)2 + (1,9875)2 = 1,9895 Ω

 

ZTotal 35(250Hz) = ZL35 (250 Hz) + ZCarga25(250Hz) = 0,6685+15,0846 = 15,7532 Ω  → IL35 (250 Hz) = V 25 (250Hz) /  ZTotal 35 (250 Hz) = 5,674 / 15,753 = 0,3602 A → 1,1230%

ZTotal 37(350Hz) = ZL37 (350 Hz) + ZCarga27(350Hz) = 0,9318+20,6764 = 21,6083 Ω  → IL37 (350 Hz) = V 27 (350Hz) /  ZTotal 37 (350 Hz) = 2,207 / 21,608= 0,1021A → 0,3185%

ZTotal 311(550Hz) = ZL311 (550 Hz) + ZCarga211(550Hz) = 1,4602+32,0534 = 33,5137 Ω  → IL311(550 Hz) = V 211(550Hz) /  ZTotal 311(550 Hz) = 0,639 / 33,513= 0,0190 A → 0,0594 %

ZTotal 313(650Hz) = ZL313 (650 Hz) + ZCarga213(650Hz) =  1,7248+37,7804 = 39,5052 Ω  → IL313(650 Hz) = V 213(650Hz) /  ZTotal 311(650 Hz) = 0,003 / 39,505= 0,0001A → 0,0003%

ZTotal 317(850Hz) = ZL317 (850 Hz) + ZCarga217(850Hz) =  1,9895+43,5196 = 45,5091 Ω  → IL317(850 Hz) = V 213(850Hz) /  ZTotal 311(850 Hz) =  0,002 / 45,509= 0,00005A → 0,0001%

 

V∆L35(250Hz) = ZL35 (250 Hz) * IL35(250Hz)  =  0,6685 * 0,3602 = 0,2408 V  → V 45 (250Hz) = V25(250Hz) - V∆L35(250Hz)  = 5,6744 -0,2408 = 5,4336 V → 1,3584%

V∆L37(350Hz) = ZL37 (350 Hz) * IL37(350Hz)  =   0,9318 * 0,1021 = 0,0952 V  → V 47 (350Hz) = V27(350Hz) - V∆L37(350Hz)  = 2,2076 - 0,0952 = 2,1124 V → 0,5281%

V∆L311(550Hz) = ZL311 (550 Hz) * IL311(550Hz)  = 1,4602 *0,0190  = 0,0278 V  → V 411 (550Hz) = V211(550Hz) - V∆L311(550Hz)  = 0,6395 - 0,0278 = 0,6117 V → 0,1529%

V∆L313(650Hz) = ZL313 (650 Hz) * IL313(650Hz)  = 1,7248 * 0,0001 =  0,0001 V  → V 413 (650Hz) = V213(650Hz) - V∆L313(650Hz)  = 0,0038 -  0,0001 = 0,0036 V → 0,0009%

V∆L317(850Hz) = ZL317 (850 Hz) * IL317(850Hz)  =  1,9895 * 0,00005  = 0,0001 V  → V 417 (850Hz) = V217(850Hz) - V∆L317(850Hz)  = 0,0023 - 0,0001 = 0,0022 V → 0,0005%

 

ZCond5(250Hz) = 0,8533Ω,  ZCond7(350Hz) = 0,6095Ω,  ZCond11(550Hz) = 0,3878Ω,  ZCond13(650Hz) = 0,3282Ω, ZCond17(850Hz) = 0,2844Ω.

RL4 = 0,0336Ω

XLL45 (250Hz) = 2 * π * f * LL4 = 2 * 3,1416 * 250 *  0,0001 = 0,2506 Ω  → ZL45 (250 Hz) = √ (RL4)2 + (XLL45 (250 Hz))2 = √ (0,0336)2 + (0,2506)2 = 0,2529 Ω

XLL47 (350Hz) = 2 * π * f * LL4 = 2 * 3,1416 * 350 * 0,0001 = 0,3509 Ω  → ZL47 (350 Hz) = √ (RL4)2 + (XLL47 (350 Hz))2 = √ (0,0336)2 + (0,3509)2 = 0,3525 Ω

XLL411 (550Hz) = 2 * π * f * LL4 = 2 * 3,1416 * 550 * 0,0001 = 0,5515 Ω  → ZL411 (550 Hz) = √ (RL4)2 + (XLL411 (550 Hz))2 = √ (0,0336)2 + (0,5515)2 = 0,5525 Ω

XLL413 (650Hz) = 2 * π * f * LL4 = 2 * 3,1416 * 650 *  0,0001 = 0,6517 Ω  → ZL413 (650 Hz) = √ (RL4)2 + (XLL411 (650 Hz))2 = √ (0,0336)2 + (0,6517)2 = 0,6526 Ω

XLL417 (850Hz) = 2 * π * f * LL4 = 2 * 3,1416 * 850 *  0,0001 = 0,7520 Ω  → ZL417 (850 Hz) = √ (RL4  ”)2 + (XLL411 (850 Hz))2 = √ (0,0336)2 + (0,7520)2 = 0,7528 Ω

 

ZTotal 45(250Hz) = ZL45 (250 Hz) + ZCond5(250Hz) = 0,2529 + 0,8533 = 1,1062 Ω  → IL45 (250 Hz) = V 25 (250Hz) /  ZTotal 45 (250 Hz) = 5,6744 / 1,1062 = 5,1293 A → 15,9917%

ZTotal 47(350Hz) = ZL47 (350 Hz) + ZCond7(350Hz) = 0,3525 + 0,6095 = 0,9620 Ω  → IL47 (350 Hz) = V 27 (350Hz) /  ZTotal 47 (350 Hz) = 2,2076 / 0,9620 = 2,2946 A → 7,1540%

ZTotal 411(550Hz) = ZL411 (550 Hz) + ZCond11(550Hz) = 0,5525 + 0,3878 = 0,9404 Ω  → IL411(550 Hz) = V 211(550Hz) /  ZTotal 411(550 Hz) = 0,6395 / 0,9404 = 0,6801 A → 2,1203%

ZTotal 413(650Hz) = ZL413 (650 Hz) + ZCond13(650Hz) = 0,6526 + 0,3282 = 0,9808 Ω  → IL413(650 Hz) = V 213(650Hz) /  ZTotal 411(650 Hz) = 0,0038 / 0,9808 = 0,0038 A → 0,0121%

ZTotal 417(850Hz) = ZL417 (850 Hz) + ZCond17(850Hz) = 0,7528 + 0,2844 = 1,0372 Ω  → IL417(850 Hz) = V 213(850Hz) /  ZTotal 411(850 Hz) =  0,0023 / 1,0372 = 0,0022 A → 0,0070%

 

V∆L45(250Hz) = ZL45 (250 Hz) * IL35(250Hz)  =  0,2529 * 5,1293 = 1,2973 V  → V 55 (250Hz) = V25(250Hz) - V∆L45(250Hz)  = 5,6744 - 1,2973 = 4,3770 V→ 1,0942%

V∆L47(350Hz) = ZL47 (350 Hz) * IL37(350Hz)  =  0,3525 * 2,2946 = 0,8090 V  → V 57 (350Hz) = V27(350Hz) - V∆L47(350Hz)  = 2,2076 - 0,8090 = 1,3986 V → 0,3496%

V∆L411(550Hz) = ZL411 (550 Hz) * IL311(550Hz)  =  0,5525 * 0,6801 = 0,3757 V  → V 511 (550Hz) = V211(550Hz) - V∆L411(550Hz)  = 0,6395 - 0,3757 = 0,2637 V → 0,0659%

V∆L413(650Hz) = ZL413 (650 Hz) * IL313(650Hz)  =  0,6526 * 0,0038 = 0,0025 V  → V 513 (650Hz) = V213(650Hz) - V∆L413(650Hz)  = 0,0038 - 0,0025  = 0,0012 V → 0,0003%

V∆L417(850Hz) = ZL417 (850 Hz) * IL317(850Hz)  =  0,7528 * 0,0022 = 0,0016 V  → V 517 (850Hz) = V217(850Hz) - V∆L417(850Hz)  = 0,0023 - 0,0016  = 0,0001 V → 0,0001%

 

ZTrafo5(250Hz) = 7,8693 Ω,  ZTrafo7(350Hz) = 11,0171Ω,  ZTrafo11(550Hz) = 17,3126Ω,  ZTrafo13(650Hz) =20,4603 Ω, ZTrafo17(850Hz) = 23,6081Ω.

RL0 = 0,0059Ω

XLL05 (250Hz) = 2 * π * f * LL0 = 2 * 3,1416 * 250 *  0,00003 =0,0480  Ω  → ZL05 (250 Hz) = √ (RL0)2 + (XLL05 (250 Hz))2 = √ (0,0059)2 + (0,0477)2 = 0,0480 Ω

XLL07 (350Hz) = 2 * π * f * LL0 = 2 * 3,1416 * 350 *  0,00003 = 0,0670 Ω  → ZL07 (350 Hz) = √ (RL0)2 + (XLL07 (350 Hz))2 = √ (0,0059)2 + (0,0668)2 = 0,0670 Ω

XLL011 (550Hz) = 2 * π * f * LL0 = 2 * 3,1416 * 550 * 0,00003 = 0,1051 Ω  → ZL011 (550 Hz) = √ (RL0)2 + (XLL011 (550 Hz))2 = √ (0,0059)2 + (0,1049)2 = 0,1051 Ω

XLL013 (650Hz) = 2 * π * f * LL0 = 2 * 3,1416 * 650 * 0,00003 = 0,1242 Ω  → ZL013 (650 Hz) = √ (RL0)2 + (XLL011 (650 Hz))2 = √ (0,0059)2 + (0,1240)2 = 0,1242 Ω

XLL017 (850Hz) = 2 * π * f * LL0 = 2 * 3,1416 * 850 * 0,00003=  0,1433 Ω  → ZL017 (850 Hz) = √ (RL0)2 + (XLL011 (850 Hz))2 = √ (0,0059)2 + (0,1431)2 = 0,1433 Ω

 

ZTotal 05(250Hz) = ZL05 (250 Hz) + ZTrafo5(250Hz) = 0,0480 + 7,8693 = 7,9506 Ω  → IL05 (250 Hz) = V 25 (250Hz) /  ZTotal 05 (250 Hz) = 5,6744 / 7,9506 = 0,7137 A → 2,2251%

ZTotal 07(350Hz) = ZL07 (350 Hz) + ZTrafo7(350Hz) = 0,0670 + 11,0171 = 11,1079 Ω  → IL07 (350 Hz) = V 27 (350Hz) /  ZTotal 07 (350 Hz) = 2,2076 / 11,1079 = 0,1987 A → 0,6196%

ZTotal 011(550Hz) = ZL011 (550 Hz) + ZTrafo11(550Hz) = 0,1051 + 17,3126 = 17,4328 Ω  → IL011(550 Hz) = V 211(550Hz) /  ZTotal 011(550 Hz) = 0,6395 / 17,4328 = 0,0366 A → 0,1143%

ZTotal 013(650Hz) = ZL013 (650 Hz) + ZTrafo13(650Hz) = 0,1242 + 20,4603 = 20,5973 Ω  → IL013(650 Hz) = V 213(650Hz) /  ZTotal 011(650 Hz) = 0,0038 / 20,5973 = 0,0001 A → 0,0005%

ZTotal 017(850Hz) = ZL017 (850 Hz) + ZTrafo17(850Hz) = 0,1433 + 23,6081 = 23,7624 Ω  → IL017(850 Hz) = V 213(850Hz) /  ZTotal 011(850 Hz) =  0,0023 / 23,7624 = 0,0001 A → 0,0003%

 

V∆L05(250Hz) = ZL05 (250 Hz) * IL05(250Hz)  = 0,0480 * 0,7137 = 0,0343 V  → V 65 (250Hz) = V25(250Hz) - V∆L05(250Hz)  = 5,6744 - 0,0343 = 5,6400 V→ 1,4100%

V∆L07(350Hz) = ZL07 (350 Hz) * IL07(350Hz)  = 0,0670 * 0,1987  =  0,0133 V  → V 67 (350Hz) = V27(350Hz) - V∆L07(350Hz)  = 2,2076 - 0,0133 = 2,1943 V → 0,5485%

V∆L011(550Hz) = ZL011 (550 Hz) * IL011(550Hz)  = 0,1051 * 0,0366 = 0,0038 V  → V 611 (550Hz) = V211(550Hz) - V∆L011(550Hz)  = 0,6395 - 0,0038 = 0,6357 V → 0,1589%

V∆L013(650Hz) = ZL013 (650 Hz) * IL013(650Hz)  = 0,1242 * 0,0001 = 0,00002 V  → V 613 (650Hz) = V213(650Hz) - V∆L013(650Hz)  = 0,0038 - 0,00002 = 0,0038 V → 0,0009%

V∆L017(850Hz) = ZL017 (850 Hz) * IL017(850Hz)  = 0,1433 * 0,0001 = 0,00001 V  → V 617 (850Hz) = V217(850Hz) -V∆L017(850Hz)  = 0,00232 - 0,00001 = 0,0023 V → 0,0005%

 

 

La impedancia de la fuente de armónicos, es un valor determinante de los valores de distorsión de tensión. A mayor valor de la misma, mayor distorsión de tensión para una corriente senoidal dada.

Por lo tanto la relación de la impedancia de la fuente de armónicos con respecto a la equivalente del sistema, arrojara un valor más bajo de distorsión de tensión, cuanto más pequeña es la impedancia del sistema; es decir que el agente distorsionante tenga una relación de potencia pequeña frente a la del sistema de alimentación.

Los receptores lineales que tienen una impedancia preponderante frente a la línea de alimentación, tienen una similar distorsión que en el principio de línea, recordemos que la caída de tensión que se produce al final de la línea, es el producto de la impedancia de la misma por la corriente que circula.

En nuestro ejemplo L2 y L3 de la misma sección i longitud que alimentan sendas cargas de 50Kw y 40Kw, muestran que la distorsión al final de la L2, punto ❸, es  inferior que la distorsión al final de la línea L3, punto ❹.La mayor impedancia del receptor del punto ❹(40Kw), frente a la del punto ❸(50Kw), arroja diferentes valores de distorsión 1,46% frente a 1,30%.

En el caso del grupo reactiva, punto ❺, se presenta la menor distorsión de tensión y la mayor distorsión de intensidad, dada la característica de impedancia / frecuencia de las capacidades.

Si en lugar de los valores de intensidad armónica se consideran los siguientes valores: Io = 100%, I5 = 80%, I7 = 75%, I11 = 40%, I13 = 35%, I17 = 10% en el mismo ejemplo anterior se obtiene:

 

Las pérdidas totales en los conductores debido al efecto Joule, son incrementadas por el producto de las intensidades armónicas, y en algunos casos la intensidad máxima admisible es superada, por lo que inevitablemente se producen calentamientos inadmisibles en las secciones de alimentación.

En nuestro ejemplo, con la mayor tasa de distorsión, la corriente circulante por la línea de alimentación L1 y L4 es superior a la máxima admisible de la misma, y la protección térmica de la línea se disparará sin causas evidentes si se desconoce la existencia de los mismos.